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标准正交基：

对于标准正交列向量组成的矩阵$Q=\left[\begin{array}{c}{q}_1,q_2,...,q_n\end{array}\right]$（当$Q$是方阵时，称为正交矩阵）,有

1. $Q^{T}Q=I$
2. 其列空间的投影矩阵$P=Q{Q}^T\{\begin{array}{ll}=I& \text{if }Qissquare\end{array}$

注：即使$q_i$不是 n 维向量。

$A^{T}A\hat{x}=A^{T}b$

Now A is Q

$\hat{x}=Q^{T}b$

$⟹{\hat{x}}_i=q_i^{T}b$

即已知标准正交基Q，$b$ 在 第$i$个 基方向上的投影的数量积${\hat{x}}_i$等于$q_i^{T}b$.

Gram-Schmidt

目的

使线性无关向量组标准正交化.

算法

设有线性无关向量组$a,b,c$，

令$A=a$，

$B=b-\frac{A^{T}b}{A^{T}A}a$，

$\frac{A^{T}b}{A^{T}A}$是 $b$ 在 $a$ 上的。

$C=c-\frac{A^{T}c}{A^{T}A}A-\frac{B^{T}c}{B^{T}B}B$

则$q_1=\frac{A}{||A||},q_2=\frac{B}{||B||},q_3=\frac{C}{||C||}$即为标准正交向量组。

特点

1. $A\to Q$，其列空间不变.
2. A=QR，R是上三角矩阵.

缺点

计算时，可能会出现 根号

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